Ensembles finis Exemples

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

Étape 1.2

Développez $(x - 2) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

Étape 1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

Étape 4.2

Soustrayez $e^{8}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 2 - e^{8}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.1.6

Additionnez $9$ et $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ vrai.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Forme décimale :

$x = 39.37695294 \dots$